Doppler-Aliasing & CRT-Unwrapping

DAS PROBLEM

Doppler-Aliasing: Warum Geschwindigkeiten mehrdeutig werden

In einem FMCW-Radar wird die Geschwindigkeit über die Doppler-Frequenzverschiebung zwischen aufeinanderfolgenden Chirps gemessen. Die maximale eindeutig messbare Geschwindigkeit ist dabei durch die Chirp-Wiederholrate (PRF = 1/T_c) begrenzt.

Maximale eindeutige Geschwindigkeit:

v_max = λ / (4 · T_c) = λ · PRF / 4

Dabei ist λ die Wellenlänge und T_c die Chirp-Dauer (Wiederholperiode). Die Doppler-Phase zwischen zwei Chirps darf maximal ±π betragen (Nyquist-Kriterium).

Konkretes Beispiel (77 GHz Radar):

λ = c/f = 3×10⁸ / 77×10⁹ = 3.9 mm

T_c	PRF	v_max	Entspricht
100 µs	10 kHz	0.97 m/s	3.5 km/h – Schrittgeschwindigkeit!
50 µs	20 kHz	1.95 m/s	7 km/h – schnelles Gehen
20 µs	50 kHz	4.87 m/s	17.5 km/h – Fahrrad
10 µs	100 kHz	9.74 m/s	35 km/h – Stadt

Für Automotive-Anwendungen (v > 200 km/h) oder schnelle Drohnen (v > 80 km/h) reicht keine dieser Konfigurationen!

Das Range-Velocity-Dilemma:

kürzeres T_c → höheres v_max, aber R_max = c · T_c / 2 sinkt ebenfalls, und die Range-Resolution wird schlechter (weniger ADC-Samples pro Chirp). Man kann nicht beides gleichzeitig maximieren – hier kommt CRT ins Spiel.

MATHEMATIK

Chinese Remainder Theorem (CRT)

Der Chinesische Restsatz (CRT) ist ein über 2000 Jahre altes Theorem aus der Zahlentheorie. Er ermöglicht die eindeutige Rekonstruktion einer Zahl aus ihren Resten bei Division durch teilerfremde Moduln.

Theorem: Gegeben seien teilerfremde Moduln m₁, m₂ (d.h. ggT(m₁, m₂) = 1) und:

x ≡ a₁ (mod m₁)
x ≡ a₂ (mod m₂)

Dann existiert eine eindeutige Lösung x modulo M = m₁ · m₂.

Konstruktive Lösung:

M = m₁ · m₂
M₁ = M / m₁ = m₂, M₂ = M / m₂ = m₁
M₁^-1 = modulares Inverses von M₁ mod m₁
M₂^-1 = modulares Inverses von M₂ mod m₂

x = (a₁ · M₁ · M₁^-1 + a₂ · M₂ · M₂^-1) mod M

Zahlenbeispiel:

Gesucht: x mit x ≡ 2 (mod 3) und x ≡ 3 (mod 5)

M = 3 × 5 = 15

M₁ = 5, M₁^-1 mod 3: 5 · 2 = 10 ≡ 1 (mod 3) → M₁^-1 = 2

M₂ = 3, M₂^-1 mod 5: 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5) → M₂^-1 = 2

x = (2 · 5 · 2 + 3 · 3 · 2) mod 15 = (20 + 18) mod 15 = 38 mod 15 = 8

Probe: 8 mod 3 = 2 ✓, 8 mod 5 = 3 ✓

Verbindung zum Radar:

Die gemessene (aliased) Geschwindigkeit ist der Rest der wahren Geschwindigkeit bei Division durch v_max:

v_gemessen = v_wahr mod v_max

Mit zwei verschiedenen v_max-Werten (aus zwei PRFs) können wir den CRT anwenden!

DUAL-PRF

Dual-PRF Velocity Unwrapping

Das praktische Verfahren: Sende abwechselnd Chirps mit zwei verschiedenen Dauern T_c1 und T_c2. Jede Konfiguration liefert eine eigene (möglicherweise aliased) Geschwindigkeitsmessung.

PRF 1:

T_c1 → v_max,1 = λ/(4T_c1)

Gemessen: v₁ = v_wahr mod v_max,1

PRF 2:

T_c2 → v_max,2 = λ/(4T_c2)

Gemessen: v₂ = v_wahr mod v_max,2

Erweiterter eindeutiger Bereich:

v_{max,erweitert} = lcm(v_max,1, v_max,2)

Wenn v_max,1 und v_max,2 teilerfremd gewählt werden (ganzzahlige Vielfache vermeiden), dann gilt: v_{max,erweitert} = v_max,1 · v_max,2.

                # Dual-PRF Unwrapping Algorithmus (Python-Pseudocode)

                def unwrap_velocity(v1, v2, vmax1, vmax2):

                  # Erzeuge Kandidaten aus Messung 1

                  candidates = []

                  for k in range(-N, N+1):

                    candidates.append(v1 + k * vmax1)

                  # Finde Kandidat, der am besten zu Messung 2 passt

                  best = None

                  for vc in candidates:

                    residual = (vc - v2) % vmax2

                    if residual < tolerance:

                      best = vc

                  return best

Design-Beispiel: 77 GHz Automotive Radar

Parameter	PRF 1	PRF 2	Erweitert
T_c	50 µs	62.5 µs	–
PRF	20 kHz	16 kHz	–
v_max	1.95 m/s	1.56 m/s	9.74 m/s (35 km/h)

Mit drei PRFs lässt sich v_max auf über 200 km/h erweitern – ausreichend für Autobahn-Szenarien.

ALGORITHMUS

CRT-Unwrapping: Schritt für Schritt

1

Messung mit PRF 1

Sende N₁ Chirps mit Dauer T_c1. Doppler-FFT liefert v₁ ∈ [-v_max,1, +v_max,1].

2

Messung mit PRF 2

Sende N₂ Chirps mit Dauer T_c2. Doppler-FFT liefert v₂ ∈ [-v_max,2, +v_max,2].

3

Kandidaten erzeugen

Alle möglichen wahren Geschwindigkeiten, die zu v₁ passen: v_k = v₁ + k · 2v_max,1 für k = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

4

Konsistenzprüfung

Für jeden Kandidaten: Prüfe, ob (v_k mod 2v_max,2) ≈ v₂. Der Kandidat mit dem kleinsten Residuum ist die Lösung.

5

Ergebnis

Der konsistente Kandidat ist die unwrapped wahre Geschwindigkeit v_wahr.

Fehleranalyse:

Rauschen in den Geschwindigkeitsmessungen kann zu falschem Unwrapping führen, wenn die Messungenauigkeit größer als die Hälfte des kleineren v_max wird. Robuste Varianten verwenden gewichtete Residuen oder statistische Hypothesentests.

ERWEITERTE VERFAHREN

Staggered PRF & Multiple PRF Waveforms

In modernen Radarsystemen werden die verschiedenen PRFs nicht nacheinander, sondern verschachtelt (interleaved) gesendet.

Interleaved Chirps

Chirps alternieren: T_c1, T_c2, T_c1, T_c2, ...
Vorteil: Beide Messungen nahezu gleichzeitig → konsistente Zielpositionen.
Nachteil: Halbe Integrationszeit pro PRF.

Sequentielle Blöcke

Erst N₁ Chirps mit T_c1, dann N₂ Chirps mit T_c2.
Vorteil: Volle kohärente Integration pro Block.
Nachteil: Zeitversatz → Ziel kann sich bewegt haben.

Triple-PRF für sehr große v_max:

Mit drei PRFs (T_c1, T_c2, T_c3) lässt sich der eindeutige Bereich noch weiter erhöhen. Typisch für 77 GHz Automotive: v_max > 70 m/s (250 km/h). Die Zuverlässigkeit des Unwrappings steigt ebenfalls, da drei Messungen mehr Redundanz bieten.

Moderne Automotive-Chipsets (z.B. TI AWR2243):

Bis zu 4 verschiedene Chirp-Profile in einem Frame
Flexible PRF-Konfiguration über Chirp-Timing-Engine
Hardware-unterstützte FFT-Beschleunigung für Multi-PRF-Verarbeitung
BPM (Beat-Phase Modulation) als Alternative zum klassischen CRT

PRAXIS

Design-Beispiele

Beispiel 1: 77 GHz Automotive

Anforderung: v_max ≥ 70 m/s (252 km/h)

T_c1 = 40 µs	→ v_max,1 = 2.44 m/s
T_c2 = 44 µs	→ v_max,2 = 2.22 m/s
T_c3 = 48 µs	→ v_max,3 = 2.03 m/s

v_max,ext ≈ 73.2 m/s (263 km/h) ✓

Beispiel 2: 24 GHz Drohnendetektion

Anforderung: v_max ≥ 50 m/s (180 km/h)

λ = 12.5 mm	(deutlich größer als 77 GHz)
T_c1 = 100 µs	→ v_max,1 = 31.25 m/s
T_c2 = 125 µs	→ v_max,2 = 25.0 m/s

v_max,ext = 156.25 m/s (562 km/h) ✓

INTERAKTIV

CRT-Explorer: Velocity Unwrapping

Stelle die wahre Geschwindigkeit und die beiden PRF-Parameter ein. Beobachte, wie die gemessenen Geschwindigkeiten gefaltet werden und der CRT-Algorithmus die wahre Geschwindigkeit rekonstruiert.

Wahre Geschwindigkeit: 15.0 m/s

T_c1: 50 µs

T_c2: 62 µs

PRF 1 Messung

v₁ = 1.05 m/s

v_max₁ = 1.95 m/s

PRF 2 Messung

v₂ = 0.42 m/s

v_max₂ = 1.56 m/s

CRT Unwrapped Ergebnis

v_unwrapped = 15.0 m/s

v_max_extended = 30.4 m/s

CRT Unwrapping – Doppler-Mehrdeutigkeit lösen

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